Trong giải tích, cận trên đúng hay cận trên nhỏ nhất của một tập các số thực S được ký hiệu là sup(S) và được định nghĩa là số thực nhỏ nhất mà lớn hơn hoặc bằng với mọi số trong S. Một tính chất quan trọng của tập số thực là tính đủ: mọi tập con không rỗng của tập số thực mà bị chặn trên thì có một cận trên đúng và cận trên đúng này cũng là một số thực.

Các ví dụ

sup { 1 , 2 , 3 } = 3 {\displaystyle \sup \,\{1,2,3\}=3\,} sup { x ∈ R : 0 < x < 1 } = sup { x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1 } = 1 {\displaystyle \sup \,\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup \,\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1\,} sup { ( − 1 ) n − 1 n : n ∈ N ∗ } = 1 {\displaystyle \sup \,\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} ^{*}\}=1\,} sup { a + b : a ∈ A  and  b ∈ B } = sup ( A ) + sup ( B ) {\displaystyle \sup \,\{a+b:a\in A{\mbox{ and }}b\in B\}=\sup(A)+\sup(B)\,} sup { x ∈ Q : x 2 < 2 } = 2 {\displaystyle \sup \,\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}={\sqrt {2}}\,}

Trong ví dụ cuối cùng, cận trên đúng của một tập hữu tỉ là một số vô tỉ, điều này cho thấy tập các số hữu tỉ là không đủ.

Một tính chất cơ bản của cận trên đúng là

sup { f ( t ) + g ( t ) : t ∈ A } ≤ sup { f ( t ) : t ∈ A } + sup { g ( t ) : t ∈ A } {\displaystyle \sup \,\{f(t)+g(t):t\in A\}\leq \sup \,\{f(t):t\in A\}+\sup \,\{g(t):t\in A\}}

với f and g là các phiếm hàm bất kỳ.

Hơn nữa, nếu chúng ta định nghĩa sup(S) = −∞ nếu S là rỗng và sup(S) = +∞ nếu S không bị chặn trên, khi đó mọi tập gồm các số thực sẽ có một cận trên đúng trong một hệ thống số thực mở rộng theo kiểu afin.

sup Z = ∞ {\displaystyle \sup \mathbb {Z} =\infty \,} sup ∅ = − ∞ {\displaystyle \sup \varnothing =-\infty \,}

Nếu cận trên đúng của một tập hợp lại thuộc tập hợp đó, thì nó chính là phần tử lớn nhất của tập hợp đó. Khái niệm phần tử cực đại cũng có thể dùng ở đây vì nó đồng nghĩa với khái niệm phần tử lớn nhất chừng nào ta vẫn còn giới hạn đối tượng khảo sát là các số thực hay với bất kỳ một tập được sắp toàn phần nào đó.

Để chứng minh rằng a = sup(S), người ta thường chỉ ra a là một cận trên của S và bất kỳ một cận trên nào của S đều lớn hơn a. Một cách khác tương đương, ta có thể chỉ ra a là một cận trên của S và bất kỳ một số nào nhỏ hơn a đểu không thể là cận trên của S.